LA  SUITE DE FIBONACCI

1. Histoire de la suite :

    La suite de Fibonacci tient son nom de son créateur, le mathématicien italien Leonardo Bonacci, né à Pise en 1175, il passa son enfance dans l’actuel Algérie, dans la ville de Bejaia où il apprit les mathématiques, il voyagea beaucoup par la suite et finit sa vie dans sa ville natale en 1250. Le nom de Fibonacci, correspondant à «filius Bonacii, fils de Bonacci », lui a été attribué de manière posthume. Au début du 13e siècle il introduisit l'emploi des nombres arabes dans son ouvrage "Liber Abbaci" en français « Le Livre du calcul » (à l'époque, on utilisait encore les chiffres romains dont l'utilisation était peu commode dans les calculs mathématiques) Mais le livre doit désormais essentiellement sa popularité à sa célèbre suite. A l'origine Fibonacci élabora cette suite pour savoir combien de lapins il obtiendrait à la fin de l'année si chaque couple produisait un nouveau couple par mois, de par la simplicité de cet exemple Fibonacci fut largement ignoré en son temps ... puis on découvrit les propriétés et les applications extraordinaires et surtout universelles de sa suite.

Extrait tiré du livre :

« Un homme installe un couple de lapins dans un lieu entièrement enclos de murs. Combien ce couple aurait ils engendrées de lapins en 1 an, sachant que tous les mois chaque couple engendre un couple qui devient fécond à son tour au bout d'un mois ? »

2. Définition mathématiques :

En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent ; En l'occurrence dans la suite de Fibonacci chaque terme de la suite, à partir du rang 2, s'obtient en additionnant les deux précédents, les deux premiers termes étant 0 et 1.

Démonstration : Appelons la suite de Fibonacci (Un). Avec n représentant tous les entiers naturels.

Dans cette suite (U0)=0 et (U1)=1.

Le troisième terme est donc égale à (U2)=1+0=1.

Le quatrième terme est égale à (U3)=1+1=2

Le cinquième terne est égale à (U4)=1+2=3

Ce qui revient à dire Un+ 2 = Un+ 1 + Un.

3. Les termes et leurs propriétés

Les 54 premiers termes des suites de Fibonacci :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074.

La suite de Fibonacci possède de nombreuses propriétés très utilisées en mathématiques. Une d’entre elles est que le rapport de deux nombres consécutifs de la suite est alternativement supérieur et inférieur au nombre d’or, un nombre remarquable qui vaut exactement 1.61803398…

En effet: 13/8 = 1.625 ; 21/13 = 1.61538… ; 34/21 = 1.61904…et ainsi de suite, plus on avance dans la suite de Fibonacci, plus l’écart s’amenuise, et plus le rapport des deux nombres successifs (le plus grand / le plus petit) tend vers la valeur du nombre d’or 1,61803

Léonard de Pise, dit Fibonacci.